合成后的总误差(总随机不确定度)极限误差 (2-58) t——置信系数，不但与置信概率有关，且与对应的随机误差的分布有关。 ??——合成总极限误差； 各单项随机误差的极限误差 ?I ，表示为 σi——各随机误差的标准偏差， ti——各对应随机误差的置信系数， 式中 ρij内取值范围为-1≤ρij ≤1(即 ρij ≤1)。 当0＜ρij ＜1时，两随机误差i与j为正相关，其中一个随机误差增大时，另一误差的取值平均地增大。 当0＞ρij＞-1时，两随机误差i与j为负相关，即一随机误差增大时，另一误差取值平均地减小。当ρij ＝+1时，称为完全相关(或称强正相关)。两随机误差δi和δj间存在着确定的线性函数关系。当ρij ＝0时，两随机误差不相关(无线性关系)，表示两随机误差完全独立。这时由式(2-59)得出总极限误差综合为 如为正态分布，置信系数t＝3时(其约定概率为ρ＝0.9973)得随机性总极限误差 以上都是误差传递系数为1的情况，如果 不为1时 二、系统误差的合成 (一)已定系统误差的合成 因为已定系统误差其数值大小和方向已知其合成方法用代数和法。设有r个已知系统误差，则已定系统误差 (2-63) (二)未定系统误差的合成 未定系统误差其数值大小与方向不明确，常用两种方法合成。 1．绝对和法(又称最大最小法) 若各单项未定系统误差的不确定度(极限度差)分别为e1，e2，…，em ，则总误差的不确定度按绝对值相加 (2-64) 这种合成方法对总误差的估计偏大，显然不完全符合实际。但此法比较简便、直观，因而在原始误差数值较小或选择方案时采用。 2．方和根法 (2-65) e1，e2，…，em——为m个未定系统误差 上式是假设各单项原始误差不相关(ρij＝0)且未知其概率分布，而当做正态分布来对待。这种方法计算的结果略低于实际总误差，只有在误差数目很多时，才较接近实际情况。 当单项原始误差不相关，各误差概率分布已知时，采用广义方和根法最为合适。该法较严格适用于任何概率分布的误差合成，由于估算精度较高，对精密机械尤为合适。 总合成误差Δe为: (2-66) t1，t2，…，tm——各系统误差在具体约定概率条件下对应的置信系数； t——总误差分布的对应置信系数； σm——总合成误差的标准偏差； e1，e2，…，em——各未定系统误差的极限误差(系统不确定度)。 一般测量时，m取10～15次，t＝3。 设计精密机械时，m个单项极限误差。e1，e2，…，em取相应尺寸公差的一半，即ei=Δxi/2。 精密机械含有各种单项原始误差，有些不相关、有的相关。因此在合成误差时，要注意考虑相关系数的影响，其处理方法同随机误差合成相同。 （2-67） 三．不同性质误差的合成 (一)已定系统误差和随机误差的合成 设各单项原始误差中有r个已定系统误差Δi，n个随机误差δi 。 (二)随机误差与已定系统误差，未定系统误差的合成 设各单项原始误差中有r个已定系统误差Δi，有m个未定系统误差ei，有n个随机误差δi。在合成误差时，要根据仪器设备的未定系统误差的类型来选定计算方法。 当计算一台仪器设备的最大极限误差值时，未定系统误差的随机性大为减少，因而，可按系统误差来处理，其合成误差为 这种计算方法适用于超差概率极小的仪器设备，如高精度计量标准仪器。 当计算一批同类仪器设备的合成极限误差时，未定系统误差呈现随机误差性质，因此误差合成按随机误差方法来处理。如果单项原始误差中含有相关的误差，则其合成误差为 (2-70) 它反映不出一台设备的最大极限误差，因此不适用于计算一台仪器设备的合成极限误差。 在一般设备或仪器中求一台仪器设备的总极限误差时，强调未定系统误差的两重性，即在未定系统误差合成时，按随机误差来处理，强调其随机性质；而它与随机误差合成时，则强调其系统性质，按系统误差与随机误差合成方法处理，其计算式为 (2-71) 如果各单项原始误差有相关误差存在，求合成误差时，还应考虑相关系数。 四、误差合成举例 图2-19为激光干涉定位自动分步重复照相机的精密机械系统图。主机工作台的纵横滑板分别用滚柱支承在互相垂直的纵横导轨上，在水平面内用聚四氟乙烯特制的触头导向和张紧，并分别由两套电机驱动。为使工作台既有较快的移动速度，又能微动，采用了快速伺服电机与步进电机联用的结构。为避免电机振动的影响，将机底座与主机分开，用尼龙绳传动。 2．变值系统误差对测量结果的影响 若xi=x1，x2,…, xn为某量x的一组等精度测得值数列，x的线，在xi中包括变值系统误差δi(δ1，δ2，…，δn)和随机误差εi(ε1，ε2，…，εn)。则 x1 = x0 +δ0 +ε1 x2 = x0 +δ0 +ε2 … … xn = x0+δ0 +εn ? 由此得出Xi的算术均值 (2-39) 当n足够大时，上式最后一项趋近于零, 故 (2-40) 其中 由此可知，变值系统误差以其算术均值反映在 中，在δ未知时难于修正。 变值系统误差对σ的影响：当n足够大时，则 由于 ，且其数值不易确定，故变值系统误差不仅影响xi的算术均值，而且也影响xi的残差vi，必然影响σ的计算值。即变值系统误差不仅影响随机误差分布曲线的位置，而且也影响它的分散范围，使分布曲线产生“平移”和“变形”。 3．发现系统误差 发现系统误差是消除或减少系统误差的前提。常用以下几种方法 (1)观察法 计算某量x的算术均值 残差 按xi的顺序排列残差vi，观察其变化： ①若残差vi的大小有规律的向一个方向变化，符号呈(－－－＋＋＋)或(＋＋＋－－－)如图2-2所示，则测量结果中一定含有线性系统误差。其间微小变化表明有随机误差存在。 ②若残差符号有规律的交替变化，如图2-3所示，则表明有周期性变化的系统误差存在。中间的小波动为随机误差。 ②若当某一条件存在时，残差基本上保持相同符号，数值变动不大。当这一条件去除或出现新条件后，残差均变符号，则表明存在定值系统误差。 ④若vi的前一半之和与后一半之和的差值显著地不为零，则表明含线性系统误差。若在改变条件前，前部分残差之和与改变条件后部分残差之和的差显著不为零，则表明含有定值系统误差，见图2-4。 (2)数据比较法 若对某量x测量，得到n组结果(n＝1，2，…，n)并算出各组的算术平均值和均方差，得 则任意两组间不存在系统误差的判别条件为 式中 i，j ＝1，2，…，n，但i≠j 上述各类误差可以用图2-5表示 §2-2 仪器误差的来源与分析 为了获得所需求的仪器精度，必须对影响仪器精度的各项误差源进行分析，找出影响精度的主要因素加以控制，设法减少其对仪器精度的影响。 造成仪器误差的因素是多方面的。 在仪器设计、制造和使用的各个阶段都可能造成误差。 在仪器的各种误差源中，制造误差数值最大，运行误差次之。但是在仪器测量误差中运行误差将是主要的。 一、原理误差 原理误差可以分为理论误差、方案误差、技术原理误差、机构原理误差、零件原理误差和电路控制系统的原理误差等。 理论误差是由于应用的工作原理的理论不完善或采用了近似理论所造成的误差。 方案误差是指由于采用的方案不同而造成的误差。 仪器结构有时也存在着原理误差。 即实际机构的作用方程与理论方程有差别，因而产生机构原理误差。 图2-7表示出零件原理误差。在实现h＝f(φ)的运动规律的凸轮机构中，为了减少磨损，常需将从动杆的端头设计成半径为r的圆球头。 由此引起误差Δh， 式中 α——压力角 二、制造误差 制造误差可以在设计时，通过合理确定公差来进行控制。 设计零件时，应注意遵守基面统一原则，以减少制造误差。 基面大体上可分为以下三种 1．设计基面：零件工作图上注尺寸的基准面； 2．工艺基面：加工时，用它定位去加工其他面； 3．装配基面：以它为基准，确定零件问的相互位置。 尽可能把以上三个基面统一起来，以利保证精度。 三、运行误差 仪器在工作过程中也会产生误差，如变形误差。磨损和间隙造成的误差，以及温度误差等。 由于受力零件常产生变形，又材料具有内摩擦，从而使负荷—变形曲线所示的性质，即出现弹性滞后或弹性后效。 零件产生弯曲或扭转变形； 大型精密机械零件，如床身、横梁等的自重变形； 1．自重变形引起的误差 自重变形量与零件支点的位置有关。正确地选择支点位置，可以使一定部位的变形误差达到最小值。 乔治·艾里(G．Airy)和贝塞尔利用材料力学原理分别计算出了不同部位误差最小时选用的最优支承点。 设某梁体在A，B点支承时，产生弹性变形如CAOBD。由于对称性，可只研究OB和BD两段(见图2-9)。 中段OB 所受弯矩为 右段BD 所受弯矩为 式中 P —— 单位长度的重量； 边值条件为yx=0＝0，y’x=0＝0，并y，y’在B点连续。由此得出，在中段OB 的情况是： 在右段BD 的情况是 而 曲线上任意两点内弧长为 由中段y’求出sOB，右段y’求出sBD缩短量为 求缩短量最小的条件，取ΔL对(l／L)的偏导数，并使其等于零。即 用牛顿法求得方程在(0，1)上的唯一解为 (2-42) 此时的支承点A，B 即为贝塞尔点。 对于量块或标准棒等以端面间距为工作长度的量具，其支承的位置选择应以保证两端平行为准。此时其弹性曲线端点的切线应该水平，因此右端 y’＝0。 则 由此可得 (2-43) 此时支承点A，B 即为艾里点。 当多支承点时，设支承点数为n，支点间距离a与长度L之间的关系为 当希望中点挠度为零时 则 (2-44) 当希望中点与C、D 端点等高时 则 (2-45) 2．应力变形引起的误差 零件虽然经过时效处理，内应力仍可能不平衡，金属的晶格处于不稳定状态，使零件产生变形，在运行时产生误差。 减小或消除内应力的一般方法是充分地进行时效处理，切除表面应力层，用氮化代替淬火，锻造代替轧制等。 3．接触变形引起的误差 4．磨损 5．间隙与空程引起的误差 减小空程误差的方法有： (1)使用仪器时，采用单向运转，把间隙和弹性变形预先消除，然后再进行使用； (2)采用间隙调整机构，把间隙调到最小； (3)提高构件刚度，以减少弹性空程； (4)改善磨擦条件，降低磨擦力，以减少由于磨擦力造成的空程。 6．温度引起的误差 例如，作为传动部件的丝杠热变形对精度有较大的影响。由热力学可知1m长的丝杠均匀温升1℃，轴向伸长达0.011mm。这可能引起传动误差，应采取措施予以消除。 又如光学仪器中温度对象面的影响： 由于温度变化，使仪器上的光学零件最后一面O移向Ol，移动量为-Δa，它使象面离开理想位置，由A移至Al，AAl＝-Δa ；另一方面，光学零件的热变形也引起象面移动， 由A移至A2，AA2＝Δst’。实际成象面在A3处，最终的离焦量Δξ为： 要求仪器在温度变化条件下能够保证Δξ。 即 -Δa＝0 和 Δst’ ＝0 或 Δa＝Δst’ 由此可见，欲要保证较高的精度，必须采取措施，消除温度可能引起的误差。 7．振动引起的误差 振动可能使工件或刻尺的象抖动或变模糊； 振动频率高时，会使刻线或工件轮廓象扩大，产生测量误差； 若外界的振动频率与仪器的自振频率相近，则会发生共振。 减小振动影响的办法有： (1)在高精度计量仪器中，尽量避免采用间歇运动机构，而用连续扫描或匀速运动机构。 (2)零部件的自振频率要避开外界振动频率； (3)采取各种防振措施。如防振墙、防振地基、防振垫等。 (4)通过柔性环节使振动不传到仪器主体上。 §2-3 仪器误差的计算分析方法 一、误差独立作用原理 仪器的输出(即所显示的被测量)和有关零部件参数之间的关系可以用数学式表示。 (2-46) 式中 x——被测尺寸； ——仪器的有关零部件参数，n为零件数； y0——指示参数，一般与示值呈线”符号表示没有误差时的名义值。 当仪器的有关零部件参数具有误差时， 则 式中 Δqi——是各参数qi的相应误差，i＝1，2，…，n。 因此，实际仪器的输出方程式为 使仪器产生误差 Δy = y – y0 当 而 则 由 Δq1引起的误差Δy1 = y1 – y0 由 Δqi引起的误差Δyi = yi – y0 可以近似简化为： 其物理意义是：Δqi是Δyi单独作用造成的仪器误差。现以ΔPi表示； 在仪器加工前，仪器的实际方程式是不知道的，偏导数 无意义。 但 对qi取导数 即在误差ΔPi表示式中，可利用理想方程式(y0) 求偏导数得 则 由此得出，误差源Δqi引起的误差Δyi是该误差源的线性函数，其线性常数是理想方程式对于该误差参数的偏导数 。 若仪器有关参数均具有误差，取理想方程式的全微分，即可得 式中 Δy是仪器各误差源共同作用所产生的误差。 误差独立作用原理 一个误差源仅使仪器产生一定的误差；仪器误差是其误差源的线性函数，与其它误差源无关。 因此，可以逐个计算误差源所造成的仪器误差。 由于在推导过程中忽略了相关因子，因此误差独立作用原理是近似原理，但在大多数情况下都能适用。 二、微分法 列出仪器的作用方程式，用微分求出各因素误差对仪器误差的影响。 例 求接触式光学球径仪测环半径误差对球径仪精确度的影响，其方程式为 式中 R——被测样板曲率半径；r ——测环半径；h——矢高； a——测环钢珠半径。 测凸样板，式中取“-”号，测凹样板取“+”号。 将R式对r 取偏微分，用Δr代替dr，得仪器误差表示式 微分法的优点是运用高等数学解决了其它方法难以解决的误差计算问题。但微分法也具有局限性，不少误差不能用微分法计算或很难计算，如仪器中常遇到的测杆间隙误差，就不能用微分法求得。 三、几何法 利用几何图形找出误差源造成的误差，求出它们之间的数值和方向关系。 例 在图2-12所示的螺旋测微机构中，由于制造或装配产生误差，使得螺旋轴线与滑块运动方向成一夹角θ求由此而引起的滑块位置误差ΔL。 机构的传动方程为 式中 L——滑块移动距离； φ——螺旋转角； P——螺距。 由于有原始误差夹角θ，滑块的实际移动距离L’，为 故位置误差 (2-49) 几何法的优点是简单、直观，但应用在复杂机构上则较为困难。 针对机构误差的特点，还有一些其他方法：如逐步投影法、瞬时臂法等。 例1 图2-14所示的杠杆机构，其传递运动的方程式与上述基本公式是一致的，可以列为 ， 所以 (2-51) 例2 齿轮传动方程式 齿轮l和齿轮2(见图2-16)的传递运动作用线就是齿轮传动的公法线l l。在作用线上的微小位移分别可表示为dl1和dl2。 ， 又 式中 α——压力角； R1，R2——齿轮节圆半径 由于两齿轮在传动中沿作用线的微小位移相等。 根据上述这些基本机构的传动方程式，便可得出由它们组成的仪器机构方程式。 在实际条件下，各种机构都有误差，都将使瞬时臂增添多余的变动量δr0。具有误差的实际机构的瞬时臂可表示为 实际机构传递运动的基本公式如下 (2-53) 或 §2-4 仪器误差的综合 在新产品设计和技术鉴定以及对旧的产品进行精度复测时，都需要对该产品的总精度进行分析和估计；对各个主要部件的误差进行分配和综合。 由于误差的种类不同，综合的方法也各异。 对于随机误差，采用方差运算规则合成，对已定系统误差的综合采用代数和法。 对属于系统误差性质的，但对其大小或方向还不确切掌握的所谓未定系统误差，则采用绝对和法与方和根法。 一、随机误差的合成 设有n个随机性原始误差的标准差为σ1，σ2，…，σn，根据方差运算规则，其合成的总随机误差标准差为 (2-57) 式中 ?ij—— 第i j 两个相关的随机误差间的相关系数。 σiσj—— 相关的误差的标准差， i，j＝1，2，…，n i≠j * 精密仪器设计 第一章 概论 1.1 概 述 一、精密仪器是仪器仪表学科的重要组成部分 仪器仪表是人们用来对物质(自然界)实体及其属性进行观察、监视、测定、验证、记录、传输、变换、显示、分析处理与控制的各种器具与装置的总称。 仪器仪表发展至今已成为一门独立的学科，而精密仪器则是仪器仪表学科的一个重要组成部分。它研究的对象是测量各种物理量所用的仪器仪表。 测量的物理量包括长度、力学、热工、电磁、光学、无线电、时间频率、电离幅射等。 二、我国精密仪器发展的状况 我国仪器仪表产品与国外的主要差距为： 1．品种系列不全，成套水平低： 2．技术性能低、质量差： 3．标准化程度低： 4．新技术采用缓慢，产品更新换代周期长： 5．产品结构落后、功能少、智能化程度低： 三、本课程的目的与要求 我国的仪器仪表生产与技术，不仅落后于工业发达国家，也远远满足不了国内的需要。 本课程是培养精密仪器方面专业人材的一门主修课程，是一门综合性专业课。 本课程的目的要求是： 1．通过《精密仪器设计》课程学习，掌握机、光、电技术结合的仪器总体设计有关基础理论知识。 2．初步掌握仪器总体设计和系统设计的方法。 3．初步具有正确的估算和分析仪器精度的能力。 1.2 仪器的分类 按系统工程的观点，可以认为：仪器是以信息流和信息变换为主的技术系统，如测量仪器、控制仪器、电影机和照相机、计算仪器、天文仪器、导航仪器等。 用信息流可以控制能量流和材料流，因此仪器的应用十分广泛。由于新技术不断地涌现，仪器新产品不断产生，其种类十分繁多。因此要对仪器进行细致的分类是相当复杂的，目前尚无统一的分类方法。 按产品分类： 如工业自动化仪表与装置、电工仪器仪表、分析仪器、光学仪器、材料试验机、气象海洋仪器、照像机械、电影机械、办公机械、生物医疗仪器、无线电电子测量仪器、航空仪表、船用导航仪表、地震仪器、汽车仪表、拖拉机仪表、轴承测试仪表等等。 从计量测试角度将仪器分为计量仪器和非计量仪器两大类。 1.2.1 计量仪器 它是用仪器将被测量取出并与计量标准进行比较，准确地表示被测量的真实数值。计量仪器分为： (1)长度计量仪器： (2)时间频率计量仪器： (3)力学计量仪器： (4)热工计量仪器： (5)电磁计量仪器： (6)光学计量仪器： (7)电离辐射计量仪器： (8)标准物质计量仪器： 上述多为基本量的计量仪器。其它还有些导出量仪器，如速度、加速度计等。 1.2.2 非计量仪器 是指除计量仪器外，借助仪器的作用完成一定任务和程序的各种光、电精密机械。 (1)观察仪器： (2)显示仪器： (3)记录仪器： (4)计算仪器： (5)调节仪器： 1.3 仪器的基本组成 例1 图1-1是在比长仪上作绝对法测量的例子。 1.定位部件; 2 是线纹尺，作基准部件用； 3是读数显微镜，它的作用是通过非接触的光学方法感受线纹尺的信号，并进行转换放大和读数； 4为瞄准显微镜， 它的作用是通过非接触的光学方法感受被测工件5的原始信号，并进行转换放大实现对零； 绝对法测量例子的框图可用图l-2来表示。 根据仪器中各部件的功能，可将各类仪器的组成分为以下几个基本组成部分。 1.3.1 基准部件 1.3.2 感受转换部件 1.3.3 转换放大部件 1.3.4 瞄准部件 1.3.5 处理与计算装置 1.3.6 显示部件 1.3.7 驱动控制器 1.3.8 机械结构部件 1.4 精密仪器设计的指导思想、原则与程序 1.4.1 设计指导思想 (1) 精度要求： 应该根据实际中被测对象的精度要求来确定仪器精度，一般仪器的测量误差取被测件公差的1／3，有时取被测件公差的1／5或1／10。 (2)经济性要求： (3)效率要求： (4)可靠性要求： (5)寿命要求： (6)造型要求： 1.4.2 设计原则 为了减少仪器误差，保证仪器精度，在设计时应考虑以下原则： (1)．从原理上提高精度的原则 1)误差平均原理：如采用多次重复测量，取平均误差，以提高测量精度。又如采用密珠滚珠导轨，静压导轨均化误差等。 2)位移量同步比较原理：如图1-3的齿轮检查仪就采用这种原理，即采用圆光栅角位移与直线光栅线位移同步运动的方法测齿轮误差。 3)误差补偿原理：通过校正、补偿环节，将仪器中的系统误差加以减小或消除，从而提高仪器的精度。 (2)．阿贝原则：将仪器的读数刻线尺，安排在被测尺寸线的延长线上。即被测量与仪器作读数用的基准线应顺次排成一条直线)．运动学设计原理：空间体具有6个自由度，根据物体要求运动的方式，即要求的自由度数，确定施加的约束数。 (4)．变形最小原则：使仪器当受力、重力、热、内应力、振动等时变形最小。 (5)．基面合一原则：使零件设计时，设计基准、加工基准、检验基准、装配基准统一。 (6)．最短传动链原则：影响测量精度的测量链系统和传动效率的传动链最短，零件最少。 (7)．精度匹配原则：在分折精度的基础上，对机、光、电各部分精度分配恰当，对各部分提出不同的精度要求。 (8)．仪器零部件的标准化、系列化、通用化原则。 (9)．仪器可靠性、安全、维修与操作方便原则。 (10)．结构工艺性好原则。 (11)．造型与装饰宜人原则。 (12)．价值系数最优原则。产品的功能与产品成本之比，反映了社会产品价值的高低。 1.4.3 设计程序 具体的设计程序可归纳如下： (1)．确定仪器任务：根据用户要求、国家发展要求、国内外市场需求来确定。 (2)．调查研究国内外同类产品、性能和特点技术指标。 (3)．对设计任务进行分析，制定设计任务书。 (4)．总体方案设计：在明确设计任务和深入调查之后，就可进行总体方案的构思和设计。总体设计包括： 1)实现功能的分析。 2)确定信号转换原理与流程。 3)确定有关机、光、电系统的配合并建立数学模型。 4)主要参数的确定。 5)技术经济的评价。 总体设计是仪器设计的关键一步。 画出示意草图、关键部件的结构草图； 初步的精度试算和精度分配； 方案论证和必要的模拟试验，以考查所拟的方案是否可行，确定最佳的方案之后，才可进行下一步具体技术设计。 (5)．技术设计： 包括 1)总体结构设计 2)部件设计 3)零件设计 4)精度计算 5)技术经济评价 6)编写包括分析和计算的设计说明书。这一步应该包括机、电、光各部分的结构设计。 (6)．制造样机、样机鉴定： 制造样机，进行产品试验，发现问题及时修改设计。 样机鉴定，编写设计说明书、使用说明书、检定规程。 根据试制和试验总结，修正设计，最后设计定型，并进行技术经济评价及市场情况分析。 (7)．批量投产。 1.5 精密仪器发展的特点和趋势 目前国外仪器仪表发展的特点和趋势，可以概括为“五化一套”。 (1)．仪器仪表产品结构正在加速电子化; (2)．仪器仪表的显示和控制系统的构成正在加速数字化并向三维形象化方向发展; (3)．仪器仪表的操作在实现自动化的同时，日趋智能化; (4)．仪器仪表整机所具备的能力正实现多参数测量和多功能化； (5)．检测仪表、传感器品种系列多样化; (6)．针对不同用户的需要，仪器仪表正在系统地成套地发展。 第二章 精密仪器设计的精度理论 2.1 仪器精度理论中的若干基本概念 一、误差 (一)误差定义 当对某物理量进行测量，所测得的数值与标称值(或真值)之间的差称为误差。 即：真误差值＝测量值－标称值 用符号表示为 (i＝1～n) (2-1) 误差的大小反映了测量值对于标称值的偏离程度，它具有以下特点： 1．任何测量手段无论精度多高，总是有误差存在。即真误差是客观存在的，永远不会等于零。 2．多次重复测量某物理参数时，各次的测定值并不相等，这是误差不确定性的反映。只有量仪的分辨率太低时，才会出现相等的情况。 3．真误差是未知的，因为通常真值是未知的。 为了能正确地表达精度，人们在长期实践中，确定了以下基本概念： (1)理论真值(即名义值)：它是设计时给定的或是用数学、物理公式计算的给定值。如零件的名义尺寸等。 (2)约定真值：世界各国公认的一些几何量和物理量的最高基准的量值。如作为公制长度的基准米，约定为： 1 m ＝1650763.73λ 式中λ为氪86的(2p10-5d5)跃迁在线)相对真值：如标准仪器的误差比一般仪器的误差小一个数量级，则标准仪器的测定值可视为真值，称作相对线)残余误差 残余误差定义为 式中 ——相对真值(标准仪器的测定值)； ——多次测定值的算术平均值。 (2-2) (二)误差的分类： 1．按误差的性质区分 (1)随机误差 随机误差是由一些独立因素的微量变化的综合影响造成的。其数值的大小和方向没有一定的规律，但就其总体来说，服从统计规律。大多数随机误差服从正态分布。 (2)系统误差 系统误差的大小和方向在测量过程中恒定不变，或按一定的规律变化。一般来说，系统误差是可以用理论计算或实验方法求得，可预测它的出现，并可以进行调节和修正。 (3)粗大误差 一般是由于疏忽或错误，在测得值中出现的误差，应予以剔除。 2．按被测参数的时间特性区分 (1)静态参数误差 不随时间而变化的被测参数称为静态参数，测定静态参数所得的误差称为静态参数误差。 (2)动态参数误差 被测参数是时间的函数称为动态参数，测定动态参数所得的误差称为动态参数误差。 3．按误差间的关系区分 (1)独立误差 彼此相互独立，互不相关，互不影响的误差称为独立误差。 (2)非独立误差(或相关误差) 一种误差的出现与其他的误差相关联，这种彼此相关的误差称为非独立误差。在计算总误差时其相关系数不为零。 (三)误差的表示方法 1．绝对误差 即测得值x与被测量线(或相对真值)之差。绝对误差具有量纲，能反映出误差的大小和方向，但不能反映出测量的精细程度。 (2-3) 2．相对误差 绝对误差与被测量真值的比值称为相对误差。相对误差无量纲，但它能反映测量工作的精细程度。 相对误差可以表示为： (2-4) 二、精度 (一) 精度含义 精度是误差的反义词，精度的高低是用误差来衡量的。误差大则精度低，误差小则精度高。 通常把精度区分为 1．准确度：它是系统误差大小的反映； 2．精密度：它是随机误差大小的反映； 3．精确度：它是系统误差和随机误差两者综合的反映。 图2-1表示出精度的各种情况。 (二)精度的其他含义 1．重复精度 重复精度是指在同一测量方法和测试条件(仪器、设备、测试者、环境条件)下，在一个不太长的时间间隔内，连续多次量测同一物理参数，所得到的数据分散程度。重复精度反映一台设备固有误差的精密度。 2．复现精度 复现精度又称再现精度。它是用不同的测量方法，不同的测试者，不同的测量仪器，在不同的实验室内，在较长的时间间隔对同一物理参数作多次测量，所得数据相一致的接近程度。 对于某一物理参数的测量结果，若重复精度和复现精度都很高，则表示该设备精度稳定，测量结果准确可信。否则，需要找出不一致的原因。复现精度一般应低于重复精度，因为测定复现精度时所包括的随机变化因素多于测定重复精度。 (三)灵敏度与分辨率 1．灵敏度：输出值与输入值的变化量之比。 输出值的增量 灵敏度= 输入值的增量 对于测量仪器来说，灵敏度等于被观测的示值增量(dl)与测量的增量(dG)之比。 可以表示为： (2-5) 2．分辨率 分辨率是仪器设备的一个重要技术指标，是仪器设备能感受、识别或探测的输入量(或能产生，能响应的输出量)的最小值。 光学系统分辨率是指光学系统可分清的两物点间的最小间距。 分辨率和精密度、精确度之间的关系如下： (1)要提高仪器的测量精密度，必须相应地提高仪器的分辨率。 (2)分辨率与精确度紧密相关，提高仪器的分辨率能提高测量的精确度。但有时又是完全独立不相关的。 三、精密仪器的精度指标 (一)精密仪器常用精度指标 衡量仪器精度的指标通常有两种： 1．复现精度： 2．重复精度： (二)随机误差的评定尺度 评定随机误差时，是假设测得值不含系统误差及粗大误差，随机误差相互独立，是等精度测量，测量次数n→∞，测量仪器分辨率可以无限制地提高。通常用均方根误差、算数平均误差、或然率误差来表征。 1．均方根误差σ 设重复测量某值x，得随机误差数列 。 定义该数列的均方根误差为 其方差D为 (2-7) 用积分表示 f(ε)——随机误差的概率密度分布函数。 σ的简便计算公式为 (三)系统误差 仪器的系统误差的数学特征：一定值或是按某种函数规律变化。 由固定不变的或按确定规律变化的因素造成的。 有可能予以消除。 系统误差中占大多数的是设计原理方面的误差。除此之外，仪器零件制造和安装不正确也会引起系统误差。 系统误差可以分为定值系统误差、变值系统误差(如线性误差、周期误差和按复杂函数关系变化的系统误差)。 1．系统误差对测量结果的影响 若 xi=x1，x2,…, xn为某量x的一组等精度测得值数列，其线，在xi中包含有定值系统误差δ0和随机误差ε1，ε2，…，εn。则 x1 = x0 +δ0 +ε1 x2 = x0 +δ0 +ε2 … … xn = x0+δ0 +εn 由此得出均值为: (2-37) 当n足够大时，上式最后一项趋近于零。 故 (2-38) 由此可知，当n足够大时，随机误差εi对算术平均值 的影响可以忽略不计，但定值误差则全部反映在 中。由于δ0的值有正有负，因此使 有所增减。若引入修正值p ＝ -δ0，从理论上讲可使测得值的 达到线的程度取决于n的容量和修正值p的精度及xi的测量精度。 系统误差δ0对σ的影响，可以从残差与定值系统误差的关系式中求得。当n足够大时： 由此可知δ0不影响残差vi的计算，亦不影响σ的计算。 由此得出结论，定值系统误差不影响随机误差分布密度曲线的形状，即不会影响随机误的分布范围，而只影响随机误差分布位置的改变。 *

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